Ortak Kat / En Küçük Ortak Kat / OKEK

En az iki doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için, sayılar aynı anda en küçük asal sayı olan 2’den başlayarak sırasıyla kalansız bölünebilecek asal sayılara sürekli bölünür. Verilen sayılar 1’e ulaşınca bölme işlemi biter. Hangi asal sayılara bölünmüşse o sayılar birbirleri ile çarpılır. Buna “ortak katların en küçüğü” kısaca OKEK denir.

ÖRNEK:

Yukarıdaki örnekte verilen 12 ile 15’in en küçük ortak katını açıklayarak bulalım.  12 ile 15’i yan yana resimdeki gibi yazıyoruz. Önce en küçük asal sayı olan 2’den başlayalım ve 2’ye tam bölünen var mı? Var. 12 sayısı bölünür. Çizginin sağ tarafına 2’yi yazalım. 12:2=6 olacağından 6’yı 12’nin altına yazalım. Dikkat ederseniz 15 sayısı 2’ye tam bölünmediği için onu aynen aşağı yazıyoruz. Yine 2’ye tam bölünen var mı? Var. 6 sayısı 2’ye tam bölünür. 6:2=3 olur ve 6’nın altına 3 yazarız. Yine 15 sayısı 2’ye tam bölünmediğinden aynen yazıyoruz.  Şimdi baktığımızda Hem 3 hem de 15 artık 2’ye tam bölünemez. O halde 2’den sonra gelen diğer asal sayı olan 3’e tam bölünebilen var mı diye bakıyoruz. Var. Hem 3 hem de 15 sayıları 3’e tam bölünebilir. Bölelim. 3:3=1 ve 3’ün altına yazalım artık 1’e ulaştığımız için sol taraftaki sayı ile işimiz bitmiştir. 15:3=5 ve 15’in altına yazalım. 5 sayısı da artık 3 ile kalansız bölünmez. 3’ten sonra sıradaki asal sayı olan 5’e bölünür mü? Evet. 5:5=1 buluruz ve burada da 1’e ulaştığımız için bölme işlemlerimiz bitmiştir. Şimdi çizginin sağına yazdığımız 2,2,3 ve 5 sayılarını çarpalım. 2.2.3.5=60 buluruz. Sonuç olarak ne diyoruz? 12 ile 60’ın en küçük ortak katı yani OKEK’i 60’tır. 

Not: Diğer katları ise 60, 120 , 180 … diye devam eder.

Soru: Zeynep Hemşire 8 günde bir, Özge Hemşire ise 10 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar?

• A) 18
• B) 24
• C) 36
• D) 40

Çözüm:

8 ile 10 sayısının en küçük ortak katı yani OKEK‘i 40 olduğu için Zeynep Hemşire ile Özge Hemşire 40 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar. Sonraki nöbetleri de 40’ın katları olarak devam eder. 40, 80, 120, 160 …

Ortak Bölen / En Büyük Ortak Bölen / EBOB

En az iki doğal sayının ortak bölenlerini ve en büyük ortak bölenlerini yani EBOB’unu bulmak için, sayılar aynı anda en küçük asal sayı olan 2’den başlayarak sırasıyla kalansız bölünebilecek asal sayılara sürekli bölünür. Verilen sayılar 1’e ulaşınca bölme işlemi biter. Aynı anda hangi asal sayılara bölünmüşse o sayılar, ortak bölenlerdir.  Aynı anda bölünebilen bu sayılar birbirleri ile çarpılarak da “ortak bölenlerin en büyüğü” kısaca EBOB’u bulunur.

ÖRNEK:

18 ile 24 sayıları renkli olarak yazılanlara dikkat edersek aynı anda 2 ve 3 ile tam bölünmüşlerdir. O halde ortak bölünenleri 2 ve 3 sayılarıdır. EBOB’u ise 2.3=6’dır.

Soru: 54 kg’lık ve 72 kg’lık iki farklı pirinç hiç artamayacak şekilde ve aynı büyüklükte  paketlere konulacaktır. Bunun için en fazla kaç kg’lık paketler kullanılacaktır?

• A) 2
• B) 3
• C) 6
• D) 18

Çözüm:

En fazla kaç kg’lık dediğine göre EBOB’unu buluyoruz. Aynı anda 2, 3 ve 3’e bölündüler. 2.3.3=18 kg’lık paketlere konulmalıdır. En az diye sorsaydı ortak bölenlerinden en küçük olan 2 kg’lık paketler olurdu.